enfr

Formulation mixte à 2 champs pour gérer l’incompressibilité et la quasi-incompressibilité

11 février 2011

par S. Fayolle, EDF R&D / AMA - projet MNAM

Il était jusqu’à présent possible de simuler l’incompressibilité dans Code_Aster par des éléments finis mixtes à 3 champs (déplacements/pression/gonflement) : voir les modélisations 3D_INCO, AXIS_INCO et D_PLAN_INCO.

Un nouveau formalisme vient d’être introduit en complément, moins riche mais plus performant : des éléments finis mixtes à 2 champs (déplacements/pression).

En effet, dans le cadre d’une plasticité J2 (ex : plasticité type von Mises, Tresca, …), il existe une relation biunivoque entre la pression et le gonflement qui permet d’éliminer l’inconnue de gonflement. On obtient alors des éléments finis avec beaucoup moins de degrés de liberté. Les temps de résolution du problème mécanique s’en trouvent fortement diminués.

Comme dans toute formulation mixte, le degré d’interpolation des différentes inconnues n’est pas arbitraire et doit satisfaire la condition de LBB. De nombreuses familles d’interpolations compatibles avec la condition de LBB existent. Nous avons retenu la plus classique qui consiste à utiliser une interpolation quadratique des déplacements et une interpolation linéaire des pressions.

En plus de l’interpolation classique et afin de gagner en efficacité, il a été décidé d’introduire l’élément fini stabilisé appelé « mini-élément ». Il se base uniquement sur des éléments triangles en 2D et tétraédriques en 3D. Les interpolations en déplacement et en pression sont toutes les deux linéaires. Afin de stabiliser l’élément et donc de respecter la condition de LBB, un degré de liberté de déplacement supplémentaire appelé « bulle » est introduit au centre de chaque l’élément. Ce degré de liberté n’est pas modélisé car il se condense naturellement dans la formulation de l’élément. On obtient alors un élément très peu couteux.

L’utilisation de ce formalisme se fait via les modélisations : 3D_INCO_UP, AXIS_INCO_UP et D_PLAN_INCO_UP.

En terme de performance, à maillage donné :

  • l’élément P2P1 (3D_INCO_UP) permet de diminuer d’environ 15% les temps de calcul par rapport à l’élément P2P1P1 (3D_INCO)  ;
  • l’élément P1+P1 (3D_INCO_UP) permet de diminuer d’environ 85% les temps de calcul par rapport à l’élément P2P1P1 (3D_INCO) .

Pour l’instant ce nouveau formalisme n’est compatible qu’avec les petites déformations (DEFORMATION=’PETIT’). L’extension aux grandes déformations est un travail en cours. Toutes les lois de comportement entrant dans le cadre de l’élasticité linéaire et de la plasticité J2 sont compatibles sauf dans le cas d’un maillage linéaire (mini-élément). En effet dans ce cas, la formulation sera limitée pour l’instant à ELAS et aux lois VMIS_ISOT_XXX.

Exemple d’utilisation sur l’écrasement d’un lopin élastique quasi-incompressible (ν=0,4995) :

  • Maillage en tétraèdres linéaires :
Formalisme standard
Formalisme mixte à 2 champs (XXX_INCO_UP)
  • Maillage en tétraèdres quadratiques :
Formalisme standard
Formalisme mixte à 3 champs (XXX_INCO)
Formalisme mixte à 2 champs (XXX_INCO_UP)